Rachunek prawdopodobieństwa
Częstość zdarzeń:
Takie doświadczenie, które może zakończyć się jednym z możliwych wyników:w 1, w
2, w 3, ..., ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego jest praktycznie lub
teoretycznie niemożliwe, natomiast częstości tych wyników przy wielokrotnym
powtarzaniu tego doświadczenia wydają się przewidywalne, nazywamy
doświadczeniem losowym (krótko: doświadczeniem).
Jeśli wśród n powtórzeń doświadczenia D wynik pojawił się k razy (nÎ N+, kÎ N,
k
liczbę .
Zdarzenia elementarne:
Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia
elementarnego.
Wszystkie zdarzenia elementarne tworzą zbiór zwany zbiorem zdarzeń
elementarnych. Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy W .
Zdarzenie niemożliwe jest to zdarzenie, które nie zachodzi nigdy i oznaczamy je
A .
Algebra zdarzeń:
Sumą zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i tylko
wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A lub zdarzenie B. (AE B)
w Î AE BU w Î A Ú w Î B
Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i
tylko wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A i zdarzenie B. (AÇ B)
w Î AÇ BU w Î A U w Î B
Różnicą zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i tylko
wtedy kiedy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. (A\B)
w Î A\BU w Î A U w I B
Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A' polegające na tym,
że nie zaszło zdarzenie A.
A'=W \A
Zdarzenia A i B wyłączają się wtedy i tylko wtedy jeśli iloczyn ich jest
zdarzeniem niemożliwym. (AÇ B=A )
Prawdopodobieństwo:
Funkcję P, która każdemu zdarzeniu AI E przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę
P(A) spełniającą nastepujące warunki:
1. 0 L P(A) L 1
2. P(E)=1
3. jeżeli zdarzenia A, B wykluczają się to P(AE B)=P(A)+P(B),
nazywamy prawdopodobieństwem. Liczbę p=P(A) nazywamy prawdopodobieństwem
zdarzenia A.
Własności prawdopodobienstwa:
P(A )=0
P(A)=1-P(A)
AI B? P(A)L P(B)
(A=B)? [P(A)=P(B)]
P(AE B)=P(A)+P(B)-P(AÇ B)
Jeżeli zbiór E składa się z n zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i wśród
nich jest dokładnie m zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę
nazywamy prawdopodobienstwem zdarzenia A. (definicja klasyczna).
Prawdopodobieństwo warunkowe:
Niech para (W ,P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast A i B
dowolnymi podzbiorami zbioru W . Ponadto niech P(A)>0.
Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B pod warunkiem zdarzenia A nazywamy
liczbę:
Oznaczamy ją P(B1 A).
P(BÇ A)=P(A)*P(B1 A)
Prawdopodobieństwo całkowite:
Jeżeli para (W , P) jest przestrzenią probabilistyczną, natomiast B1, B2,...,Bn
I W (nÎ N+) są dowolnymi zdarzeniami o następujących własnościach:
BiIBj=A dla i1 j (i, j Î {1,2,...,n})
B1EB2E..E Bn=W
P(Bi)>0 dla każdego iÎ {1,2,...,n}
to dla dowolnego zdarzenia AI W zachodzi wzór:
P(A)=P(B1)*P(A1 B)+P(B2)*P(A1 B2)+...+P(Bn)*P(A1 Bn)
Zdarzenia niezależne:
Niech para (W , P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia A
i B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni W .
Zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezależnymi jeśli P(AÇ B)=P(A)*P(B).
Niezależność trójki zdarzeń:
Niech para (W , P) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia A,
B i C są dowolnymi podzbiorami zbioru W .
Zdarzenia A, B i C nazywamy zdarzeniami niezależnymi jeżeli zdarzenia A i B, A
i C, B i C są niezależne i P(AÇ BÇ C)=P(A)*P(B)*P(C), czyli gdy:
P(AÇ B)=P(A)*P(B)
P(AÇ C)=P(A)*P(C)
P(BÇ C)=P(B)*P(C)
P(AÇ BÇ C)=P(A)*P(B)*P(C)
Prawa dotyczące działań na zdarzeniach:
1. (AÇ B)'=A'E B'
2. (AE B)'=A'Ç B'
3. A\B=AÇ B'
4. AÇ A =A
5.AI B? AÇ B=A oraz AE B=B
6. AE A =A
7. AE W =W
8. (AE B)Ç C=(AÇ C)(BÇ C)
Schemat Bernoulliego:
Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg doświadczeń niezależnych, w których dane
doświadczenie powtarzamy n-razy (n-liczba skończona) i w którym
prawdopodobieństwo zdarzenia A (zdarzenie A-wynik doswiadczenia) jest stałe,
nie zależy od wyników poprzednich.
Zajście zdarzenia A nazywamy sukcesem.
Zajście zdarzenia A' nazywamy porażką.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A - sukcesu oznaczamy p.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A' - porażki oznaczamy q.
p+q=1
q=1-p
W schemacie Bernoulliego o n próbach prawdopodobieństwo gdzie p jest
prawdopodobieństwem sukcesu w próbie Bernoulliego, nÎ N+ i kÎ {0,1,...,n}
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego:
Jeżeli (N+1)*p jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobne są wartości:
(N+1)*p i (N+1)*p-1
Jeżeli (N+1)*p nie jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobną liczbą
sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego jest największa liczba calkowita K0 i
taka, że
K0< (N+1)*p