Funkcje
Sposoby opisywania funkcji:
a) za pomocą grafu
b) za pomocą tabeli
c) za pomocą wykresu
d) za pomocą wzoru
e) za pomocą opisu słownego
Funkcja różnowartościowa:
Odwzorowanie f:XŽ Y nazywamy różnowartościowym U gdy dla każdych argumentów
x1,x2ÎX, jeżeli x11x2, to f(x1)1 f(x2)
Funkcja rosnąca:
x1
Funkcja malejąca:
x1
f(x2)
Funkcja parzysta:
f: XŽ Y jest parzysta U dla każdego xÎ X: -xÎ X i f(-x) = f(x). Wykres jest
symetryczny względem OY (np. y=xx+1).
Funkcja nieparzysta:
f: XŽ Y jest parzysta U dla każdego xÎ X: -xÎ X i f(-x) = -f(x). Wykres jest
symetryczny względem punktu (0,0) (np. y=x3).
Funkcja okresowa:
f: XŽ Y jest okresowa U istnieje liczba s1 0 taka, że dla każdego xÎ X: x+sÎ X
i f(x+s)=f(x) (np. funkcje trygonometryczne).
Funkcja ograniczona:
f: XŽ Y jest ograniczona U istnieje liczba M taka, że dla każdego xÎ X zachodzi
1 f(x)1 L M (np. y=sinx).
Złożenie funkcji:
Jeśli f: XŽ Y i g: YŽ Z, gdzie funkcja f przekształca zbiór X na Y, to
odwzorowanie h: XŽ Z przyporządkowujące każdemu elementowi xÎ X element g[f(x)]
nazywamy złożeniem odwzorowań f i g.
Wykresy funkcji:
Wykresem funkcji y=f(x) nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (a,b),
których współrzędne spelniają warunek b=f(a).
Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są do siebie symetryczne względem prostej
y=x.
Po przesunięciu wykresu funkcji y=f(x) o wektor
otrzymamy wykres funkcji y=f(x-p)+q.
Jeżeli wykres funkcji y=f(x) przekształcimy symetrycznie względem osi OY, to
otrzymamy wykres funkcji y=f(-x).
Po przekształceniu wykresu funkcji y=f(x) symetrycznie względem osi OX,
otrzymamy wykres funkcji y=-f(x).
Badanie przebiegu funkcji:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Obliczenie miejsc zerowych funkcji oraz f(0).
3. Obliczenie granic funkcji w ą Y oraz w punktach nieciagłości.
4. Zbadanie czy dana funkcja jest parzysta lub nieparzysta.
5. Równania asymptot funkcji.
6. Obliczenie pochodnej funkcji i jej dziedziny.
7. Miejsca zerowe pochodnej - warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
8. Zbadanie znaku pochodnej (kiedy wart. dodatnie a kiedy ujemne) i określenie
ekstremum funkcji.
9. Określenie przedziałów monotoniczności funkcji.
10. Obliczenie ekstremum funkcji.
11. Zapis powyższych obliczeń w tabeli wg schematu:
_________________________________________________________
|x |miejsca zerowe f., pochodnej, punkty nieciagłości |
|_____|___________________________________________________|
|f'(x)|znak pochodnej (+, -) i kiedy ma wartość równą zero|
|_____|___________________________________________________|
|f(x) |monotoniczność (rosnie, maleje) |
|_____|___________________________________________________|