Granice
Definicja Heinego:
Liczbę a nazywamy granicą funkcji f: AŽ R w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu
(xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach różnych od x0,
odpowiadający mu ciąg (f(xn)) wartości funkcji f jest zbieżny do a.
Jeśli funkcje f i g mają w punkcie x0 granice odpowiednio a i b, to istnieją w
punkcie x0 granice funkcji: f+g, f-g, fg, f/g, przy czym ta ostatnia istnieje
przy b1 0 i zachodzą związki:
POCHODNA FUNKCJI
Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (a;b), xÎ (a;b) i istnieje
skończona granica
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f'
(x0).
Wzory na pochodną:
f(x)=k f'(x)=0
f(x)=ax+b f'(x)=a
f(x)=ax2+bx+c f'(x)=2ax+b
f(x)=a/x f'(x)=-a/(x)2
f(x)=Ö x f'(x)=1/(2Ö x)
f(x)=a*g(x) f'(x)=a*g'(x)
f(x)=g(x)+k(x) f'(x)=g'(x)+k'(x)
f(x)=g(x)*k(x) f'(x)=g'(x)*k(x)+g(x)*k'(x)
f(x)=g(x)/k(x)
f'(x)=(g'(x)*k(x)-g(x)*k'(x))/(k(x))2
f(x)=xn f'(x)=n*xn-1
Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a;b) jest w tym
przedziale funkcją rosnącą, to jej pochodna f' w każdym punkcie przedziału
(a;b) przyjmuje wartość nieujemną.
Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a;b) jest w tym
przedziale funkcją malejącą, to jej pochodna f' w każdym punkcie przedziału
(a;b) przyjmuje wartość niedodatnią.
Ekstremum funkcji:
warunek konieczny
Jeżeli funkcja f: AŽ R ma w punkcie x0ÎA ekstremum i jest w tym punkcie
różniczkowalna, to f'(x0)=0.
warunek wystarczający
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U=(x0-d ; x0+d ) (gdzie
d >0) punktu x0 i jej pochodna f' spełnia następujące warunki:
1) f'(x0)=0
2) f'(x)>0 dla każdego xÎ (x0-d ; x0) i f'(x)<0 dla każdego xÎ (x0; x0+d ), to
w punkcie x0 funkcja f ma maksimum.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu U=(x0-d ; x0+d ) (gdzie
d >0) punktu x0 i jej pochodna f' spełnia następujące warunki:
1) f'(x0)=0
2) f'(x)<0 dla każdego xÎ (x0-d ; x0) i f'(x)>0 dla każdego xÎ (x0; x0+d ), to
w punkcie x0 funkcja f ma minimum.
Druga pochodna:
Jeśli funkcja f: XŽ R jest różniczkowalna w zbiorze X oraz jej pochodna f': XŽ
R jest również różniczkowalna w zbiorze X to mówimy, że funkcja f jest
dwukrotnie różniczkowalna w X. Funkcję nazywamy drugą pochodną funkcji f. f''=
(f')'
Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 i
jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz f'(x0)=0 i f''(x0)>0 to w
punkcie x0 funkcja f ma minimum.
Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 i
jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz f'(x0)=0 i f''(x0)<0 to w
punkcie x0 funkcja f ma maximum.
Równanie stycznej w punkcie: