Figury geometryczne
Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie:
Jeżeli A=(a1,a2), B=(b1,b2) to odległość punktów A i B:
Środek odcinka AB ma współrzędne:
Odległość trzech punktów na płaszczyźnie:
Dla dowolnych trzech punktów A, B, C zachodzi:
Odległość punktu (x0,y0) od prostej o równaniu ax+by+c=0
Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty:
Jeżeli A=(x1,x2) i B=(x2,y2) gdzie x11x2 to prosta ma równanie:
Okrąg:
Okręgiem o środku O i promieniu r (r>0) nazywamy zbiór punktów płaszczyzny,
których odległości od środka O wynoszą r.
PÎ o(O;r)U 1 OP1 =r
x2+y2=r
Jeżeli jest dany okrąg o środku S(a;b) i promieniu r i P(x,y) należy do okręgu
to:
Pole trójkąta wpisanego i opisanego:
Pole trójkąta wpisanego w okrąg:
Pole trójkąta opisanego na okręgu:
Twierdzenie sinusów:
W dowolnym trójkącie ABC zachodzi następujący wzór sinusów:
gdzie a, b, c są bokami leżącymi naprzeciwko kątów odpowiednio A, B, C, a R
jest promieniem okręgu opisanego.
Wzory cosinusów (Carnota):
Pole trójkąta:
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych:
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny
Równoległość prostych na płaszczyźnie:
Dwie proste są równoległe jeśli leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają żadnego
punktu wspólnego lub się pokrywają.
Własności prostych równoległych:
1. a||b
2. a||b ? b||a
3. a||b i b||c ? a||c
Równania prostych równoległych:
y=a1x+b1|| y=a2x+b2Ua1=a2
a1x+b1y+c1=0||a2x+b2y+c2=0U a1b1-a2b2=0U a1b2=a2b1
Prostopadłość prostej na płaszczyźnie:
Prosta a jest prostopadła do prostej b (a^ b) jeśli prosta a jest osią symetrii
prostej b i a1 b.
Własności prostej prostopadłej:
1. a^ b? b^ a
2. a^ b i b^ c? a1 1 c
3. a^ b i b1 1 c? a^ c
Równania prostych prostopadłych:
y=a1x+b1^y=a2x+b2Ua1*a2=-1
a1x+b1y+c1=0^ a2x+b2y+c2=0U a1a2+b1b2=0U a1a2=-b1b2
Wielokąty:
Wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta:
(n-2)*1800 n-liczba boków
Trójkąty:
Przystawanie trójkątów:
1. cecha przystawania D -ów
Dwa trójkąty są przystające jeśli boki jednego trójkąta są odpowiednio równe
bokom drugiego trójkąta.
Jeśli |AB|=|A'B'| i |BC|=|B'C'| i |AC|=|A'C'| to D ABCo D A'B'C'(bbb)
2. cecha przystawania D -ów
Jeżeli dwa boki i leżący między nimi kąt jednego D -a są równe odpowiednio dwóm
bokom i leżącemu między nimi kątowi drugiego D -a, to te dwa D -y są
przystające.
Jeśli |AC|=|A'C'| i |BC|=|B'C'| i ? ACB=? A'B'C' to D ABCo D A'B'C'(bkb)
3. cecha przystawania D -ów
Jeżeli bok i dwa kąty do niego przylegające jednego D -a są odpowiednio równe
bokowi i dwóm kątom do niego przylegającym drugiego D -a to trójkąty te są
przystające
Jeśli ? BAC=? B'A'C' i ? ABC=? A'B'C' i |AB|=|A'B'| to D ABCo D A'B'C'(kbk)